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Der Seiberg-Witten-Modulraum (kurz SW-Modulraum, auch Monopol-Modulraum) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie der Modulraum der Seiberg-Witten-Gleichungen, also der Raum ihrer Lösungen bis auf Eichungen. Benutzt wird dieser für die Definition der Seiberg-Witten-Invarianten, welche beim Studium vierdimensionaler glatter Mannigfaltigkeiten (kurz 4-Mannigfaltigkeiten) verwendet werden. Eine sehr nützliche Eigenschaft des Seiberg-Witten-Modulraumes ist, dass dieser immer kompakt ist,cite-ref-0-1-0[1] was eine Verbesserung gegenüber dem zuvor benutzen Yang-Mills-Modulraum ist und zur Vereinfachung der Herleitung vieler Resultate aus der Donaldson-Theorie führte. Benannt ist der Seiberg-Witten-Modulraum nach Nathan Seiberg und Edward Witten, die die zugrundeliegenden Seiberg-Witten-Gleichungen im Jahr 1994 eingeführt haben.

• Grundlagen

• Konfigurationsraum

• Eichgruppe

• Modulraum

• Siehe auch

• Literatur

• Weblinks

• Einzelnachweise

Sei M {\displaystyle M} eine kompakte orientierbare Riemannsche 4-Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik g ∈ ∈ Γ Γ ∞ ∞ ( S 2 T ∗ ∗ M ) {\displaystyle g\in \Gamma ^{\infty }(S^{2}T^{*}M)} und Spinᶜ-Struktur s : : M → → BSpin c ⁡ ⁡ ( 4 ) {\displaystyle {\mathfrak {s}}\colon M\rightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(4)} . Wegen des exeptionellen Isomorphismus:cite-ref-5-2-0[2]cite-ref-3[3]

Spin c ⁡ ⁡ ( 4 ) ≅ ≅ U ⁡ ⁡ ( 2 ) × × U ⁡ ⁡ ( 1 ) U ⁡ ⁡ ( 2 ) = { U ± ± ∈ ∈ U ⁡ ⁡ ( 2 ) | det ( U − − ) = det ( U + ) } {\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)\cong \operatorname {U} (2)\times _{\operatorname {U} (1)}\operatorname {U} (2)=\{U^{\pm }\in \operatorname {U} (2)|\det(U^{-})=\det(U^{+})\}}

besteht die Spinᶜ-Struktur s {\displaystyle {\mathfrak {s}}} aus zwei komplexen Ebenenbündeln W ± ± ↠ ↠ M {\displaystyle W^{\pm }\twoheadrightarrow M} , genannt assoziierte Spinorbündel (deren Schnitte (anti)-selbstduale Spinoren genannt werden), mit gleichem Determinantenbündel L = det ( W ± ± ) ↠ ↠ M {\displaystyle L=\det(W^{\pm })\twoheadrightarrow M} . Da das Determinantenbündel die erste Chern-Klasse erhält, haben alle Vektorbündel die gleiche erste Chern-Klasse c 1 ( s ) := c 1 ( L ) = c 1 ( W ± ± ) {\displaystyle c_{1}({\mathfrak {s}}):=c_{1}(L)=c_{1}(W^{\pm })} mit c 1 ( s ) mod ⁡ ⁡ 2 = w 2 ( M ) {\displaystyle c_{1}({\mathfrak {s}})\operatorname {mod} 2=w_{2}(M)} .cite-ref-5-2-1[2] Für eine Fundamentalklasse [ M ] Z ∈ ∈ H 4 ( M , Z ) ≅ ≅ Z {\displaystyle [M]_{\mathbb {Z} }\in H^{4}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} } und ihre Reduktion [ M ] Z 2 := [ M ] Z mod ⁡ ⁡ 2 ∈ ∈ H 4 ( M , Z 2 ) ≅ ≅ Z 2 {\displaystyle [M]_{\mathbb {Z} _{2}}:=[M]_{\mathbb {Z} }\operatorname {mod} 2\in H^{4}(M,\mathbb {Z} _{2})\cong \mathbb {Z} _{2}} gilt damit:

c 1 2 ( s ) [ M ] Z mod ⁡ ⁡ 2 = w 2 2 ( M ) [ M ] Z 2 = σ σ ( M ) mod ⁡ ⁡ 2 , {\displaystyle c_{1}^{2}({\mathfrak {s}})[M]_{\mathbb {Z} }\operatorname {mod} 2=w_{2}^{2}(M)[M]_{\mathbb {Z} _{2}}=\sigma (M)\operatorname {mod} 2,}

daher ist c 1 2 ( s ) [ M ] Z − − σ σ ( M ) {\displaystyle c_{1}^{2}({\mathfrak {s}})[M]_{\mathbb {Z} }-\sigma (M)} immer gerade.

Sei Ω Ω + 2 ( X ) {\displaystyle \Omega _{+}^{2}(X)} der Raum der selbstdualen Differentialformen mit ⋆ ⋆ η η = η η {\displaystyle \star \eta =\eta } und sei H + 2 ( X ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{+}^{2}(X)} der Untervektorraum der zusätzlich harmonischen Differentialformen mit Δ Δ η η = 0 {\displaystyle \Delta \eta =0} . Sei b + ( X ) = dim ⁡ ⁡ H + 2 ( X ) {\displaystyle b_{+}(X)=\dim {\mathcal {H}}_{+}^{2}(X)} die selbstduale Betti-Zahl, dann gibt es einen Untervektorraum Π Π < Ω Ω + 2 ( X ) {\displaystyle \Pi <\Omega _{+}^{2}(X)} mit codim ⁡ ⁡ Π Π = b + ( X ) {\displaystyle \operatorname {codim} \Pi =b_{+}(X)} (mithilfe der Hodge-Zerlegung), sodass eine selbstduale Form η η ∈ ∈ Ω Ω + 2 ( X ) {\displaystyle \eta \in \Omega _{+}^{2}(X)} der selbstduale Anteil der Krümmungsform eines Zusammenhangs A ∈ ∈ Ω Ω 1 ( X ) {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(X)} , also mit:

η η = F A + = 1 2 ( ⋆ ⋆ d A + d A ) {\displaystyle \eta =F_{A}^{+}={\frac {1}{2}}(\star \mathrm {d} A+\mathrm {d} A)}

ist, genau dann wenn η η ∈ ∈ Π Π {\displaystyle \eta \in \Pi } . Sowohl der Untervektorraum als auch dieses Resultat spielen eine zentrale Rolle, da wegen diesen die Seiberg-Witten-Gleichungen mit einer selbstdualen Form gestört werden, bevor deren Modulraum betrachtet wird. Beide sorgen auch für topologischen Obstruktionen da es für b + ( X ) = 0 {\displaystyle b_{+}(X)=0} kein Komplement gibt oder dieses für b + ( X ) = 1 {\displaystyle b_{+}(X)=1} nicht zusammenhängend ist.

Sei Ω Ω − − 2 ( X ) {\displaystyle \Omega _{-}^{2}(X)} der analoge Raum der antiselbstdualen Differentialformen mit ⋆ ⋆ η η = − − η η {\displaystyle \star \eta =-\eta } und H − − 2 ( M ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{-}^{2}(M)} der analoge Untervektorraum der zusätzlich harmonischen Differentialformen mit Δ Δ η η = 0 {\displaystyle \Delta \eta =0} . Sei b − − ( M ) = dim ⁡ ⁡ H − − 2 ( M ) {\displaystyle b_{-}(M)=\dim {\mathcal {H}}_{-}^{2}(M)} die antiselbstduale Betti-Zahl, dann können die zweite Betti-Zahl (mit H 2 ( M ) = H − − 2 ( M ) ⊕ ⊕ H + 2 ( M ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}(M)={\mathcal {H}}_{-}^{2}(M)\oplus {\mathcal {H}}_{+}^{2}(M)} ) und die Signatur ausgedrückt werden durch:

b 2 ( M ) = b + ( M ) + b − − ( M ) ; {\displaystyle b_{2}(M)=b_{+}(M)+b_{-}(M);}

σ σ ( M ) = b + ( M ) − − b − − ( M ) . {\displaystyle \sigma (M)=b_{+}(M)-b_{-}(M).}

Beide Formeln, welche später benutzt werden um die Dimension des Modulraumes zu berechnen, können auch umgekehrt werden:

b + ( M ) = 1 2 ( b 2 ( M ) + σ σ ( M ) ) ; {\displaystyle b_{+}(M)={\frac {1}{2}}(b_{2}(M)+\sigma (M));}

b − − ( M ) = 1 2 ( b 2 ( M ) − − σ σ ( M ) ) . {\displaystyle b_{-}(M)={\frac {1}{2}}(b_{2}(M)-\sigma (M)).}

Es ist hilfreich, zunächst den Raum aller möglichen Lösungen zu betrachten. Da der Raum der Zusammenhänge auf dem komplexen Linienbündel L {\displaystyle L} ein affiner Vektorraum ist, ist es sinnvoll erst einen solchen Zusammenhang d A {\displaystyle d_{A}} zu wählen und dann jeden anderen als Verschiebung durch eine Form i a ∈ ∈ Ω Ω 1 ( M , u ( 1 ) ) {\displaystyle ia\in \Omega ^{1}(M,{\mathfrak {u}}(1))} mit a ∈ ∈ Ω Ω 1 ( M ) {\displaystyle a\in \Omega ^{1}(M)} wegen u ( 1 ) ≅ ≅ i R {\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)\cong i\mathbb {R} } darzustellen. Selbstduale Spinoren bilden ebenfalls einen Vektorraum mit dem Nullschnitt als kanonischem Zentrum. Es seien der Konfigurationsraum und der reduzierte Konfigurationsraum definiert als:cite-ref-3-4-0[4]

A := { ( d A − − i a , ψ ψ ) | a ∈ ∈ Ω Ω 1 ( M ) , ψ ψ ∈ ∈ Γ Γ ∞ ∞ ( W + ) } ; {\displaystyle {\mathcal {A}}:=\{(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )|a\in \Omega ^{1}(M),\psi \in \Gamma ^{\infty }(W^{+})\};}

A ∗ ∗ := { ( d A − − i a , ψ ψ ) ∈ ∈ A | ψ ψ ≠ ≠ 0 } . {\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}:=\{(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )\in {\mathcal {A}}|\psi \neq 0\}.}

Da der reduzierte Konfigurationsraum A ∗ ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}} ein unendlichdimensionaler Vektorraum ohne einen einzigen Punkt und daher homotopieäquivalent zur unendlichdimensionalen Sphäre, ist dieser auch zusammenziehbar.

Obwohl die Definition des reduzierten Konfigurationsraumes A ∗ ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}} vor allem von der Wirkung der Eichgruppe weiter unten motiviert ist, sind die ausgeschlossenen Fälle doch bereits wichtig in den Seiberg-Witten-Gleichungen selbst, welche sich dabei auf die selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen reduzieren.

Glatte Abbildungen g : : M → → U ⁡ ⁡ ( 1 ) {\displaystyle g\colon M\rightarrow \operatorname {U} (1)} wirken auf den Elementen des Konfigurationsraumes durch:cite-ref-6-5-0[5]cite-ref-3-4-1[4]cite-ref-6[6]

g ⋅ ⋅ ( d A − − i a , ψ ψ ) = ( d A − − i a + g d ( g − − 1 ) , g ψ ψ ) . {\displaystyle g\cdot (\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )=(\mathrm {d} _{A}-ia+g\mathrm {d} (g^{-1}),g\psi ).}

Dadurch die die Eichgruppe gegeben durch:cite-ref-6-5-1[5]cite-ref-3-4-2[4]cite-ref-7[7]

G := C ∞ ∞ ( M , U ⁡ ⁡ ( 1 ) ) . {\displaystyle {\mathcal {G}}:=C^{\infty }(M,\operatorname {U} (1)).}

Da die erste unitäre Gruppe U ⁡ ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)} der Eilenberg-MacLane-Raum K ( Z , 1 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)} ist, welcher singuläre Kohomologie darstellt, ergibt sich mit dem universellen Koeffizientensatz und dem Hurewicz-Theorem:

[ M , U ⁡ ⁡ ( 1 ) ] = [ M , K ( Z , 1 ) ] = H 1 ( M , Z ) ≅ ≅ Hom ⁡ ⁡ ( H 1 ( M , Z ) , Z ) = Hom ⁡ ⁡ ( π π 1 ( M ) a b , Z ) . {\displaystyle [M,\operatorname {U} (1)]=[M,K(\mathbb {Z} ,1)]=H^{1}(M,\mathbb {Z} )\cong \operatorname {Hom} (H_{1}(M,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )=\operatorname {Hom} (\pi _{1}(M)^{\mathrm {ab} },\mathbb {Z} ).}

Für M {\displaystyle M} einfach zusammenhängend oder allgemeiner wenn dessen Fundamentalgruppe π π 1 ( M ) {\displaystyle \pi _{1}(M)} perfekt ist, ist jede Eichung nullhomotop und hat daher einen globalen Logarithmus, weshalb also für alle glatten Abbildungen g : : M → → U ⁡ ⁡ ( 1 ) {\displaystyle g\colon M\rightarrow \operatorname {U} (1)} there eine glatte Abbildung u : : M → → R {\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} } mit g = e i u {\displaystyle g=e^{iu}} existiert. In diesem Fall vereinfacht sich die Wirkung auf den Konfigurationsraum zu:cite-ref-3-4-3[4]

e i u ⋅ ⋅ ( d A − − i a , ψ ψ ) = ( d A − − i ( a + d u ) , e i u ψ ψ ) . {\displaystyle e^{iu}\cdot (\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )=(\mathrm {d} _{A}-i(a+\mathrm {d} u),e^{iu}\psi ).}

Für einen Basispunkt x 0 ∈ ∈ M {\displaystyle x_{0}\in M} , kann die Eichgruppe mit der basierten Eichgruppe als Produkt ausgedrückt werden mit:

G 0 := { g ∈ ∈ G | g ( x 0 ) = 1 } ; {\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}:=\{g\in {\mathcal {G}}|g(x_{0})=1\};}

G = G 0 × × U ⁡ ⁡ ( 1 ) . {\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {G}}_{0}\times \operatorname {U} (1).}

Wie das Produkt zeigt ist die Eichgruppe G {\displaystyle {\mathcal {G}}} nicht zusammenziehbar. Aber wie das Argument weiter oben zeigt ist für M {\displaystyle M} einfach zusammenhängend die basierte Eichgruppe G 0 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}} zusammenziehbar.

Da sowohl die Eichgruppe G {\displaystyle {\mathcal {G}}} als auch ihre Untergruppe, die basierte Eichgruppe G 0 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}} , auf dem Konfigurationsraum A {\displaystyle {\mathcal {A}}} und dessen Unterraum, dem reduzierten Konfigurationsraum A ∗ ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}} , wirken, gibt es Orbiträume:cite-ref-8[8]cite-ref-9[9]cite-ref-10[10]cite-ref-3-4-4[4]cite-ref-11[11]

B := A / G ; {\displaystyle {\mathcal {B}}:={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}};}

B ~ ~ := A / G 0 ; {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}:={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}_{0};}

B ∗ ∗ := A ∗ ∗ / G ; {\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}:={\mathcal {A}}^{*}/{\mathcal {G}};}

B ~ ~ ∗ ∗ := A ∗ ∗ / G 0 . {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}^{*}:={\mathcal {A}}^{*}/{\mathcal {G}}_{0}.}

Wie die Formel der Gruppenwirkung weiter oben zeigt, wirkt die Eichgruppe G {\displaystyle {\mathcal {G}}} nicht frei auf dem Konfigurationsraum A {\displaystyle {\mathcal {A}}} , da die Punkte mit verschwindendem selbstdualen Spinorfeld ψ ψ = 0 {\displaystyle \psi =0} invariant unter allen konstanten Eichungen g = c o n s t {\displaystyle g=\mathrm {const} } sind. Doch dieser wirkt daher frei auf dem reduzierten Konfigurationsraum A ∗ ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}} und die basierte Eichgruppe G 0 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}} wirkt sogar frei auf beiden. B {\displaystyle {\mathcal {B}}} hat daher Singularitäten, während die anderen Räume keine haben. Wenn M {\displaystyle M} einfach zusammenhängend ist, dann kann B ~ ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}} darüber hinaus mit einem Untervektorraum des Konfigurationsraumes A {\displaystyle {\mathcal {A}}} identifiziert werden durch:cite-ref-3-4-5[4]

B ~ ~ ≅ ≅ { ( d A − − i a , ψ ψ ) ∈ ∈ A | δ δ a = a } . {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}\cong \{(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )\in {\mathcal {A}}|\delta a=a\}.}

Äquivalent gibt es für jedes a ∈ ∈ Ω Ω 1 ( M ) {\displaystyle a\in \Omega ^{1}(M)} eine eindeutige glatte Abbildung u : : M → → R {\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} } mit δ δ ( a + d u ) = δ δ a + Δ Δ u = 0 {\displaystyle \delta (a+\mathrm {d} u)=\delta a+\Delta u=0} , was wieder mithilfe der Hodge-Zerlegung C ∞ ∞ ( M , R ) = H 0 ( M ) ⊕ ⊕ δ δ Ω Ω 1 ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )={\mathcal {H}}_{0}(M)\oplus \delta \Omega ^{1}(M)} mit H 0 ( M ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}(M)} den konstanten Abbildungen für M {\displaystyle M} zusammenhängend gezeigt werden kann.cite-ref-3-4-6[4]

Obwohl die kanonische Projektion B ~ ~ → → B {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}\rightarrow {\mathcal {B}}} wegen der Singularitäten nicht einmal ein Faserbündel sein muss, ist die kanonische Projektion B ~ ~ ∗ ∗ → → B ∗ ∗ {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}^{*}\rightarrow {\mathcal {B}}^{*}} nach einer geeigneten Sobolev-Vervollständigung ein U(1)-Hauptfaserbündel. Für M {\displaystyle M} einfach zusammenhängend ist B ~ ~ ∗ ∗ {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}^{*}} zusammenziehbar, da A ∗ ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}} es immer ist und G 0 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}} es in diesem Fall wie zuvor begründet. Mit der langen exakten Sequenz der Homotopiegruppen des U ⁡ ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)} -Hauptfaserbündels B ~ ~ ∗ ∗ → → B ∗ ∗ {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}^{*}\rightarrow {\mathcal {B}}^{*}} folgt, dass B ∗ ∗ {\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}} ein Eilenberg-MacLane-Raum K ( Z , 2 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)} ist (da S 1 {\displaystyle S^{1}} ein K ( Z , 1 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)} ist) und da der unendliche komplexe projektiven Raum C P ∞ ∞ {\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }} ebenfalls einer ist, gibt es eine schwache Homotopieäquivalenz B ∗ ∗ → → C P ∞ ∞ {\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}\rightarrow \mathbb {C} P^{\infty }} .cite-ref-4-12-0[12] Homotopieklassen solcher Abbildungen werden klassifiziert durch [ K ( Z , 2 ) , K ( Z , 2 ) ] ≅ ≅ Z {\displaystyle [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,2)]\cong \mathbb {Z} } und die schwache Homotopieäquivalenz muss dabei einem Generator ± ± 1 ∈ ∈ Z {\displaystyle \pm 1\in \mathbb {Z} } entsprechen. Doch das U ⁡ ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)} -Hauptfaserbündel entspricht ebenfalls bijektiv der Homotopieklassen einer klassifizierenden Abbildung f : : B ∗ ∗ → → BU ⁡ ⁡ ( 1 ) ≅ ≅ C P ∞ ∞ {\displaystyle f\colon {\mathcal {B}}^{*}\rightarrow \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }} mit B ~ ~ ∗ ∗ ≅ ≅ f ∗ ∗ EU ⁡ ⁡ ( 1 ) ≅ ≅ f ∗ ∗ S ∞ ∞ {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}^{*}\cong f^{*}\operatorname {EU} (1)\cong f^{*}S^{\infty }} . Diese fällt unter die exakt gleiche Klassifikation, entspricht jedoch nicht unbedingt einem Generator. Es ist genau die erste Chern-Klasse c 1 ( B ) ∈ ∈ H 2 ( B ∗ ∗ , Z ) ∈ ∈ Z {\displaystyle c_{1}({\mathcal {B}})\in H^{2}({\mathcal {B}}^{*},\mathbb {Z} )\in \mathbb {Z} } des U ⁡ ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)} -Hauptfaserbündels, doch die gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen müssen für eine Verwendung für die Seiberg-Witten-Invarianten eingehen. Deren Modulräume sind dann gegeben durch die folgenden Unterräume an Lösungen:cite-ref-6-5-2[5]cite-ref-4-12-1[12]cite-ref-13[13]

M := { [ d A − − i a , ψ ψ ] ∈ ∈ B | ( d A − − i a , ψ ψ ) erfüllen die SW-Gl. } ; {\displaystyle {\mathcal {M}}:=\{[\mathrm {d} _{A}-ia,\psi ]\in {\mathcal {B}}|(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )\;{\text{erfüllen die SW-Gl.}}\};}

M η η := { ( d A − − i a , ψ ψ ) ∈ ∈ B | ( d A − − i a , ψ ψ ) erfüllen die gSW-Gl. mit St. η η } ; {\displaystyle {\mathcal {M}}_{\eta }:=\{(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )\in {\mathcal {B}}|(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )\;{\text{erfüllen die gSW-Gl. mit St.}}\;\eta \};}

M ~ ~ η η := { ( d A − − i a , ψ ψ ) ∈ ∈ B ~ ~ | ( d A − − i a , ψ ψ ) erfüllen die gSW-Gl. mit St. η η } . {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta }:=\{(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )\in {\widetilde {\mathcal {B}}}|(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )\;{\text{erfüllen die gSW-Gl. mit St.}}\;\eta \}.}

Mit der kanonischen Projektion B ~ ~ → → B {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}\rightarrow {\mathcal {B}}} gibt es ebenfalls eine kanonische Projektion M ~ ~ η η → → M η η {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta }\rightarrow {\mathcal {M}}_{\eta }} . Da die vordere kein Faserbündel ist, scheint es als sei die hintere es ebenso nicht. Doch das ist nicht unbedingt der Fall und genau der Grund, warum die Seiberg-Witten-Gleichungen mit einer Störung betrachtet werden. Dafür ist die selbstduale Betti-Zahl entscheidend:

• Ist b + ( M ) ≥ ≥ 1 {\displaystyle b_{+}(M)\geq 1} , dann zwingt eine Störung η η ∈ ∈ Ω Ω + 2 ( M ) ∖ ∖ Π Π ≠ ≠ ∅ ∅ {\displaystyle \eta \in \Omega _{+}^{2}(M)\setminus \Pi \neq \emptyset } die Lösungen der gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen ψ ψ = 0 {\displaystyle \psi =0} die Gleichung F A + = η η {\displaystyle F_{A}^{+}=\eta } zu erfüllen, was wegen η η ∉ ∉ Π Π {\displaystyle \eta \notin \Pi } nicht möglich ist. Daher vermeiden beide gestörten Modulräume alle Singularitäten und M ~ ~ η η → → M η η {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta }\rightarrow {\mathcal {M}}_{\eta }} wird ein U ⁡ ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)} -Unterhauptfaserbündel von B ~ ~ ∗ ∗ → → B ∗ ∗ {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}^{*}\rightarrow {\mathcal {B}}^{*}} mit erster Chern-Klasse c 1 ( M ~ ~ η η ) ∈ ∈ H 2 ( M η η , Z ) {\displaystyle c_{1}({\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta })\in H^{2}({\mathcal {M}}_{\eta },\mathbb {Z} )} , welche dann zur Definition der Seiberg-Witten-Invariante benutzt wird.

• Ist b + ( M ) ≥ ≥ 2 {\displaystyle b_{+}(M)\geq 2} , dann werden zwei beliebige Störungen η η 0 , η η 1 ∈ ∈ Ω Ω + 2 ( M ) ∖ ∖ Π Π ≠ ≠ ∅ ∅ {\displaystyle \eta _{0},\eta _{1}\in \Omega _{+}^{2}(M)\setminus \Pi \neq \emptyset } durch einen glatten Weg γ γ : : [ 0 , 1 ] → → Ω Ω + 2 ( M ) ∖ ∖ Π Π {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\rightarrow \Omega _{+}^{2}(M)\setminus \Pi } mit γ γ ( 0 ) = η η 0 {\displaystyle \gamma (0)=\eta _{0}} und γ γ ( 1 ) = η η 1 {\displaystyle \gamma (1)=\eta _{1}} verbunden, welcher einen Bordismus M ~ ~ η η 0 → → M ~ ~ η η 1 {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta _{0}}\rightarrow {\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta _{1}}} beschreibt. Daher ergeben alle Störungen die gleiche Bordismusklasse.cite-ref-14[14] (Ist b + ( M ) = 1 {\displaystyle b_{+}(M)=1} , dann muss eine Zusammenhangskomponente von Ω Ω + 2 ( M ) ∖ ∖ Π Π {\displaystyle \Omega _{+}^{2}(M)\setminus \Pi } gewählt werden, welche auf zwei verschiedene Bordismenklassen führen kann.)

Für die Seiberg-Witten-Invariante, welche eine spezielle Chern-Zahl ist, wird die nötige Anzahl an Cup-Produkten der ersten Chern-Klasse c 1 ( M ~ ~ η η ) ∈ ∈ H 2 ( M η η , Z ) {\displaystyle c_{1}({\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta })\in H^{2}({\mathcal {M}}_{\eta },\mathbb {Z} )} mit sich selbst genommen und mit der Kronecker-Paarung gegen die Fundamentalklasse [ M η η ] ∈ ∈ H dim ⁡ ⁡ M η η ( M η η , Z ) {\displaystyle [{\mathcal {M}}_{\eta }]\in H_{\dim {\mathcal {M}}_{\eta }}({\mathcal {M}}_{\eta },\mathbb {Z} )} des Modulraumes ausgewertet. Da die Chern-Klasse geraden Grades ist, muss der Modulraum eine gerade Dimension haben, damit das funktioniert und diese muss zudem für die Anzahl der Cup-Produkte genau bekannt sein. Zuerst kann diese mit dem Index des Dirac-Operators verbunden werden und der Atiyah-Singer-Indexsatz angewendet werden, wodurch sich Formeln mit der Euler-Charakteristik und der Signatur ergeben:

• Sei M {\displaystyle M} einfach zusammenhängend. Ist ind ⁡ ⁡ ( D A + ) > 0 {\displaystyle \operatorname {ind} (D_{A}^{+})>0} für b + ( M ) = 0 {\displaystyle b_{+}(M)=0} oder b + ( M ) > 0 {\displaystyle b_{+}(M)>0} , dann ist M η η {\displaystyle {\mathcal {M}}_{\eta }} eine orientierbare glatte Mannigfaltigkeit mit Dimension:cite-ref-15[15]cite-ref-16[16]cite-ref-17[17]cite-ref-18[18]cite-ref-19[19]cite-ref-20[20]cite-ref-21[21]

dim ⁡ ⁡ M η η = 2 ind ⁡ ⁡ ( D A + ) − − b + ( M ) − − 1 = 1 4 ( c 1 2 ( s ) [ M ] − − 2 χ χ ( M ) − − 3 σ σ ( M ) ) . {\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{\eta }=2\operatorname {ind} (D_{A}^{+})-b_{+}(M)-1={\frac {1}{4}}(c_{1}^{2}({\mathfrak {s}})[M]-2\chi (M)-3\sigma (M)).}

Während der erste Ausdruck offensichtlich eine ganze Zahl ist, ist es schwerer für den zweiten Ausdruck zu sehen. Doch wie in den Grundlagen gezeigt ist c 1 2 ( s ) [ M ] Z − − σ σ ( M ) {\displaystyle c_{1}^{2}({\mathfrak {s}})[M]_{\mathbb {Z} }-\sigma (M)} immer gerade, weshalb zumindest den Term in Klammern bereits gerade macht.

• Sei M {\displaystyle M} einfach zusammenhängend. Ist b + ( M ) > 0 {\displaystyle b_{+}(M)>0} , dann ist M ~ ~ η η {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta }} eine kompaktecite-ref-0-1-1[1] orientierbare glatte Mannigfaltigkeit mit Dimension:cite-ref-22[22]

dim ⁡ ⁡ M ~ ~ η η = 2 ind ⁡ ⁡ ( D A + ) − − b + ( M ) = 1 4 ( c 1 2 ( s ) [ M ] − − 2 χ χ ( M ) − − 3 σ σ ( M ) ) + 1. {\displaystyle \dim {\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta }=2\operatorname {ind} (D_{A}^{+})-b_{+}(M)={\frac {1}{4}}(c_{1}^{2}({\mathfrak {s}})[M]-2\chi (M)-3\sigma (M))+1.}

(Einige Literatur nutzt ebenfalls die Konvention L 2 = det ( W ± ± ) {\displaystyle L^{2}=\det(W^{\pm })} da es tatsächlich das Quadrat eines Linienbündels ist, wodurch in den Formeln kein Vorfaktor vor den Chern-Klassen auftaucht.) Für b + ( M ) {\displaystyle b_{+}(M)} ungerade ist dim ⁡ ⁡ M η η {\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{\eta }} daher gerade und die Seiberg-Witten-Invarianten, welche unabhängig von der Riemannschen Metrik g {\displaystyle g} und der Störung η η {\displaystyle \eta } sindcite-ref-23[23] wie zuvor für hinteres argumentiert, können dann definiert werden als:cite-ref-24[24]cite-ref-25[25]cite-ref-26[26]cite-ref-27[27]cite-ref-28[28]

SW ⁡ ⁡ ( M , s ) := ⟨ ⟨ c 1 ( M ~ ~ η η ) dim ⁡ ⁡ M η η 2 , [ M η η ] ⟩ ⟩ ∈ ∈ Z . {\displaystyle \operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}}):=\langle c_{1}({\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta })^{\frac {\dim {\mathcal {M}}_{\eta }}{2}},[{\mathcal {M}}_{\eta }]\rangle \in \mathbb {Z} .}

• Modulraum von Monopolen

• Simon K. Donaldson: The Seiberg-Witten equations and 4-manifold topology. In: Bulletin of the American Mathematical Society (= (N.S.)). 33. Jahrgang, Nr. 1, 1996, S. 45–70, doi:10.1090/S0273-0979-96-00625-8.

• Robert Gompf und András Stipsicz: 4-Manifolds and Kirby Calculus (= Graduate Studies in Mathematics. Band 20). 1999, ISBN 1-4704-7455-7, doi:10.1090/gsm/020 (englisch).

• Liviu I. Nicolaescu: Notes on Seiberg-Witten Theory (= Graduate Studies in Mathematics. Band 28). American Mathematical Society, University of Notre Dame 2000, ISBN 0-8218-2145-8, doi:10.1090/gsm/028 (englisch, nd.edu [PDF]).

• Tim Perutz: Basics of Seiberg-Witten theory. In: www.imperial.ac.uk. Mai 2002, abgerufen am 19. August 2025 (englisch).

• Peter Kronheimer und Tomasz Mrowka: Monopoles and Three-Manifolds. Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88022-0.

• Gregory L. Naber: Topology, Geometry and Gauge Fields (Second Edition). Springer, 2011, ISBN 978-1-4419-7894-3, ISSN 0066-5452, doi:10.1007/978-1-4419-7895-0 (englisch).

• John Douglas Moore: Lecture Notes on Seiberg-Witten Invariants (Revised Second Edition). In: web.math.ucsb.edu. Juli 2010, abgerufen am 19. August 2025 (englisch).

• Seiberg-Witten moduli space auf nLab (englisch)

cite-note-0-11. ↑ Moore 2010, Compactness Theorem auf S. 83

cite-note-5-22. ↑ Perutz 2002, S. 2

cite-note-33. ↑ Naber 11, Gleichungen (A.2.34) und (A.2.35)

cite-note-3-44. ↑ Moore 2010, S. 77–79

cite-note-6-55. ↑ Perutz 2002, S. 6

cite-note-66. ↑ Naber 11, Gleichungen (A.4.15)

cite-note-77. ↑ Naber 11, Lemma A.4.1

cite-note-88. ↑ Nicolaescu 2000, S. 89

cite-note-99. ↑ Kronheimer & Mrowka 2007, Definition 1.3.1.

cite-note-1010. ↑ Kronheimer & Mrowka 2007, Gleichung (1.16)

cite-note-1111. ↑ Naber 11, S. 392

cite-note-4-1212. ↑ Moore 2010, S. 81

cite-note-1313. ↑ Naber 11, S. 391

cite-note-1414. ↑ Moore 2010, S. 100

cite-note-1515. ↑ Donaldson 1996, Gl. (7)

cite-note-1616. ↑ Gompf & Stipcisz 99, Theorem 2.4.24

cite-note-1717. ↑ Nicoleascu 2000, Lemma 2.2.10.

cite-note-1818. ↑ Perutz 2002, S. 10

cite-note-1919. ↑ Kronheimer & Mrowka 2007, Theorem 1.4.4.

cite-note-2020. ↑ Moore 2010, Transversality Theorem 2 auf S. 91

cite-note-2121. ↑ Naber 11, S. 394

cite-note-2222. ↑ Moore 2010, Transversality Theorem 1 auf S. 86

cite-note-2323. ↑ Kronheimer & Mrowka 2007, Theorem 1.5.2.

cite-note-2424. ↑ Donaldson 1996, Gl. (6)

cite-note-2525. ↑ Gompf & Stipcisz 99, Definition 2.4.2

cite-note-2626. ↑ Nicolaescu 2000, S. 113

cite-note-2727. ↑ Kronheimer & Mrowka 2007, Definition 1.5.3. & 1.5.4.

cite-note-2828. ↑ Moore 2010, S. 101